Sammansatt intresse: Beräkningar och Program i Python

Sammansatt intresse: Beräkningar och Program i Python

 (2) Anteckningar i Financial Mathematics Course

1. Grundprinciper

I kapitlet om enkel ränta förklarar vi begreppet möjlighetskostnad för att motivera existensen av intresse som ersättning för att använda pengar som mottas av tredje part (lån eller skuld) eller för att deponera besparingar (lämnar pengarna i en bank för en överenskommen tid) . Alla överväganden är desamma i fråga om sammansatt intresse. Skillnaden är hur intressen behandlas över tiden.

Antag att ett lån begärs som måste återbetalas inom fyra år till en årlig räntesats. Det första årets ränta (I = C * i * n) beräknas med formeln I 1 = C * i * 1 = C * iy i slutet av det första året som de läggs till huvudstaden eller skuldens huvudstol, det vill säga de kapitaliseras och i slutet av året blir skulden

C1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

För nästa period blir räntan högre eftersom den beräknas på ett större kapital. Det vill säga I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. Den nya kapitalen vid slutet av period 2 kommer att vara

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Vid slutet av period 4 är lånets löptid, kapital eller belopp som måste återbetalas

 M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Med samma data är mängden eller mängden sammansatt intresse större än det som motsvarar enkel ränta.

2. Sammansatt intresse. Formler

Ränta I för varje period beror proportionellt på kapital, kurs och tid

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Var: C = Kapital eller huvudstol (i monetära enheter)

 i = ränta (procent, utan enheter)

 n = tid (år eller annan tid)

För period 1 har vi:

I1 = C * I * n = C * I * 1 = C * i       Intresse för period 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)      Kapitalt ackumulerat i period 1

För period 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) *i         Intresse för period 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i

     = Cl (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Kapital ackumulerad i period 2 (Tecknet ^ indikerar effekt)

För period 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Intresse för period 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

      = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Kapital ackumulerad under period 3

För period n har generalisering vi:

I = C (n-1) * I * n = C (n-1) * I * 1 = C (n-1) * I = C (1 + i) ^ (n-1) * i

 Intresse för perioden n: te

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      = C (l + i) ^ ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Beloppet eller beloppet som måste betalas i period n med sammansatt ränta är:

M = Cn = C (1 + i) ^ n              (1)

Som med den enkla intressen finns det två möjligheter:

 1) En behöver pengar, B ger önskad mängd. A är en gäldenär (person eller företag) och B är en borgenär eller långivare (Bank). Efter en period A måste du returnera huvudmannen, huvudmannen eller skulden plus sammansatt ränta som motsvarar bankens möjlighetskostnad. Återbetalat belopp kallas belopp, belopp:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC (1)

Var: FCC = (1 + i) ^ n = Förbunden kapitaliseringsfaktor

2) En beslutar att spara i en bank, där han lämnar sina pengar för en tid t och tar emot som ersättning för hans möjlighet kostar priset av jag per tidsenhet. Kostnaden för spararen är i uppsägning av användningen av pengarna medan banken fritt kan avyttra den för egen bankverksamhet. Till sist mottar spararen det deponerade kapitalet plus ränta. Formeln (1) är också tillämplig i detta fall.

3. Formler härledda från föreningens intresse

Beräkning av kapital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Beräkning av tid

M = C * (1 + i) ^ n

Logg M = logg C + n * logg (1 + i)

Logg M - logg C = n * logg (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Beräkning av räntesatsen

(1 + i) ^ n = M / C

Här, Cn = M, om vi tar den nth rot vi har

  

4. Exempel

Juan sparar 20 000 euro i Trampitas-banken i 4 år, med en sammansatt takt på 5% per år. Hur mycket kan du ta ut vid slutet av terminen?

Mängd M = C * (1+ i) ^ n = 20 000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20 000 * (1,05) ^ 4

=  24,310,12 euro

Ränta = M-C = 24,310,12 - 20,000 = 4,310,12 euro

Det är viktigt att kontrollera enheternas enhetlighet i beräkningarna. Räntan (i) har inga andelar. Ränta (I) uttrycks i monetära enheter.

5. Program i Python:

Rekommenderade länkar: Enkelt intresse

https://mathematics-finance-python.blogspot.com/2019/07/enkel-intresse-berakningar-och-program.html