Bunga Majemuk: Perhitungan dan Program dengan Python

Bunga Majemuk: Perhitungan dan Program dengan Python

 (2) Catatan Kursus Matematika Keuangan

1. Prinsip dasar

Dalam bab tentang Bunga Sederhana, kami menjelaskan konsep biaya peluang sebagai pembenaran atas keberadaan bunga sebagai kompensasi untuk menggunakan uang yang diterima oleh pihak ketiga (pinjaman atau utang) atau untuk menyetor tabungan (meninggalkan uang di bank untuk jangka waktu yang disepakati) . Semua pertimbangan sama dalam hal bunga majemuk; Perbedaannya terletak pada cara kepentingan diperlakukan dari waktu ke waktu.

Misalkan pinjaman diminta yang harus dilunasi dalam waktu empat tahun dengan tingkat bunga tahunan. Bunga (I = C * i * n) tahun pertama dihitung dengan rumus I 1 = C * i * 1 = C * iy pada akhir tahun pertama ditambahkan ke modal, atau pokok utang, yaitu, mereka mengkapitalisasi dan pada akhir tahun hutang menjadi

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Untuk periode selanjutnya, bunganya akan lebih tinggi karena dihitung dengan modal yang lebih besar. Yaitu, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. Modal baru pada akhir periode 2 adalah

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Pada akhir Periode 4, jangka waktu pinjaman, modal atau jumlah yang harus dilunasi adalah M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Dengan data yang sama, jumlah atau jumlah bunga majemuk lebih besar dari yang sesuai dengan bunga sederhana.

2. Bunga majemuk. Formula

Bunga I untuk setiap periode tergantung secara proporsional pada modal, tingkat dan waktu

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Di mana: C = Modal atau pokok (dalam satuan moneter)

 i = suku bunga (persentase, tanpa unit)

 n = waktu (tahun atau periode waktu lainnya)

Untuk periode 1 kami memiliki:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i       Menarik untuk periode 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)   Modal terakumulasi dalam periode 1

Untuk periode 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i    Menarik untuk periode 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Modal terakumulasi dalam periode 2 (Tanda ^ menunjukkan kekuatan)

Untuk periode 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Menarik untuk periode 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

     = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Modal terakumulasi dalam periode 3

Untuk periode n, generalisasi kami memiliki:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i Menarik untuk periode tersebut n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

= C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Jumlah atau jumlah yang harus dibayar dalam periode n dengan bunga majemuk adalah:

M = Cn = C (1 + i) ^ n           (1)

Seperti dalam minat sederhana, ada dua kemungkinan:

 1) A butuh uang, B memberikan jumlah yang diinginkan. A adalah debitur (orang atau perusahaan) dan B adalah kreditor atau pemberi pinjaman (Bank). Setelah periode A, Anda harus mengembalikan pokok, pokok, atau utang ditambah bunga majemuk yang setara dengan biaya peluang bank. Jumlah yang dikembalikan disebut Jumlah, Jumlah:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC        (2)

Di mana: FCC = (1 + i) ^ n = Faktor kapitalisasi huruf besar

2) A memutuskan untuk menabung di bank, di mana ia meninggalkan uangnya untuk waktu t dan menerima sebagai kompensasi atas kesempatannya, biaya tingkat i per unit waktu. Biaya peluang dari penghemat adalah dalam penolakan penggunaan uang sementara bank dapat dengan bebas membuangnya untuk operasi perbankannya sendiri. Pada akhirnya, penabung menerima modal yang disetor ditambah bunga. Formula (1) juga berlaku dalam hal ini.

3. Rumus yang berasal dari Bunga Majemuk

Perhitungan modal

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Perhitungan waktu

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Perhitungan tingkat bunga

(1 + i) ^ n = M / C

Di sini, Cn = M, jika kita mengambil akar ke-n yang kita miliki

1    4. Contoh

Juan menghemat 20.000 euro di bank Trampitas selama 4 tahun, dengan bunga majemuk 5% per tahun. Berapa banyak yang bisa Anda tarik pada akhir semester?

Jumlah M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20.000 * (1,05) ^ 4 =

= 24.310,12 euro

Bunga = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 euro

Penting untuk memeriksa koherensi unit dalam perhitungan. Suku bunga (i) tidak memiliki unit, Bunga (I) dinyatakan dalam satuan moneter.

5. Program dengan Python:

Tautan yang disarankan: Minat sederhana

https://mathematics-finance-python.blogspot.com/2019/07/minat-sederhana-perhitungan-dan-program.html