Σύνθετο ενδιαφέρον: Υπολογισμοί και πρόγραμμα στο Python

Σύνθετο ενδιαφέρον: Υπολογισμοί και πρόγραμμα στο Python

(2) Σημειώσεις του μαθήματος Οικονομικών Μαθηματικών

1. Βασικές αρχές

Στο κεφάλαιο για απλό ενδιαφέρον να εξηγήσει την έννοια του κόστους ευκαιρίας ως δικαιολογία για την ύπαρξη ενδιαφέροντος, ως αποζημίωση για τη χρήση των χρημάτων που έλαβε τρίτο (δάνειο ή χρέος) ή καταθέσεων ταμιευτηρίου (αφήνοντας τα χρήματα στην τράπεζα για μια συμφωνημένη χρονική περίοδο) . Όλες οι εκτιμήσεις είναι οι ίδιες στην περίπτωση των σύνθετων τόκων. Η διαφορά είναι στον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζονται τα ενδιαφέροντα με την πάροδο του χρόνου.

Ας υποθέσουμε ότι ένα δάνειο ζητείται να επιστραφεί εντός τεσσάρων ετών με ετήσιο επιτόκιο. Το ενδιαφέρον (I = C * i * n) του πρώτου έτους υπολογίζεται με τον τύπο I 1 = C * i * 1 = C * iy στο τέλος του πρώτου έτους που προστίθενται στο κεφάλαιο ή το κεφάλαιο του χρέους, κεφαλαιοποιούνται και στο τέλος του έτους το χρέος γίνεται

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Για την επόμενη περίοδο, το ενδιαφέρον θα είναι υψηλότερο επειδή υπολογίζεται σε μεγαλύτερο κεφάλαιο. Δηλαδή, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. Η νέα πρωτεύουσα, στο τέλος της περιόδου 2 είναι

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + θ) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Στο τέλος της Περίοδος 4, ο όρος του δανείου, το κεφάλαιο ή το ποσό που πρέπει να επιστραφεί είναι  

Μ = C4 = C (1 + i) ^ 4

Με τα ίδια δεδομένα, το ποσό ή το ποσό των σύνθετων τόκων είναι μεγαλύτερο από αυτό που αντιστοιχεί σε απλούς τόκους.

2. Σύνθετο ενδιαφέρον. Τύποι

Το ενδιαφέρον I για κάθε περίοδο εξαρτάται αναλογικά από το κεφάλαιο, το επιτόκιο και το χρόνο

Ι = C * i * η = C * i * 1 = C * i

Όπου: C = κεφάλαιο ή κεφάλαιο (σε νομισματικές μονάδες)

 i = επιτόκιο (ποσοστό, χωρίς μονάδες)

 n = χρόνος (χρόνια ή οποιοδήποτε άλλο χρονικό διάστημα)

Για την περίοδο 1 έχουμε:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i        Τόκοι για την περίοδο 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)    Κεφάλαιο συσσωρευμένο κατά την περίοδο 1

Για την περίοδο 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i)

C2 = C1 + I2 = Γ1 (1 + i) + C1 (1 + θ) * i = Γ1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Κεφάλαιο συσσωρευμένο στην περίοδο 2 (Το σύμβολο ^ δείχνει ισχύ)

Για την περίοδο 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i)

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i  

= C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Κεφάλαιο συσσωρευμένο κατά την περίοδο 3

Για την περίοδο n, γενικεύοντας έχουμε:

Στην = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * περίοδο Ενδιαφέροντος i n-esimo

Cn = C (n-1) + Στην = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

= C (1 + i) ^ (n-1 ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Το ποσό ή το ποσό που πρέπει να καταβληθεί κατά την περίοδο n με σύνθετους τόκους είναι:

Μ = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Όπως και στο απλό ενδιαφέρον, υπάρχουν δύο δυνατότητες:

 1) Το χρήμα χρειάζεται, το Β παρέχει το επιθυμητό ποσό. Ο Α είναι οφειλέτης (πρόσωπο ή εταιρεία) και ο Β είναι πιστωτής ή δανειστής (Τράπεζα). Μετά από μια περίοδο Α, πρέπει να επιστρέψετε το αρχικό κεφάλαιο, το κεφάλαιο ή το χρέος συν σύνθετο τόκο ισοδύναμο με το κόστος ευκαιρίας της τράπεζας. Το ποσό που επιστρέφεται ονομάζεται Ποσό, Ποσό:

Μ = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC      (2)

Όπου: FCC = (1 + i) ^ n = συντελεστής κεφαλαιοποίησης σύνθετου στοιχείου

2) Αποφασίζει να αποθηκεύσει σε μια τράπεζα, στην οποία αφήνει τα χρήματά του για ένα χρονικό διάστημα t και λαμβάνει ως αποζημίωση για το κόστος ευκαιρίας του το ποσοστό του i ανά μονάδα χρόνου. Το κόστος ευκαιρίας της εξοικονόμησης είναι στην παραίτηση από τη χρήση των χρημάτων, ενώ η τράπεζα μπορεί να την διαθέσει ελεύθερα για τις δικές της τραπεζικές εργασίες. Τελικά, ο αποταμιευτής λαμβάνει το κατατεθειμένο κεφάλαιο πλέον τόκους. Ο τύπος (1) ισχύει επίσης στην περίπτωση αυτή.

3. Οι τύποι που προκύπτουν από το Σύνθετο Τόκιο

Υπολογισμός του κεφαλαίου

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ η = Μ * (1 + i)

Υπολογισμός του χρόνου

Μ = C * (1 + i) ^ n

Μητρώο M = log C + n * log (1 + i)

Μητρώο M - ημερολόγιο C = n * log (1 + i)

n = (log Μ ​​- logC) / log (1 + i)

Υπολογισμός του επιτοκίου

(1 + ί) ^ η = Μ / Ο

Εδώ, Cn = M, αν παίρνουμε τη n-ου ρίζα που έχουμε

4. Παράδειγμα

Ο Χουάν εξοικονομεί 20.000 ευρώ στην τράπεζα Trampitas για 4 χρόνια, με σύνθετο συντελεστή 5% ετησίως. Πόσο μπορείτε να αποσύρετε στο τέλος της θητείας;

Ποσότητα Μ = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20.000 * (1.05)

= 24.310,12 ευρώ

Τόκοι = Μ-I = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 ευρώ

Είναι σημαντικό να ελέγξετε τη συνοχή των μονάδων στους υπολογισμούς. Το επιτόκιο (i) δεν έχει μονάδες, Ο τόκος (I) εκφράζεται σε νομισματικές μονάδες.

5. Πρόγραμμα σε Python:

Συνιστώμενοι σύνδεσμοι: Απλό ενδιαφέρον

https://mathematics-finance-python.blogspot.com/2019/07/python_19.html